نحوه محاسبه نقاط محوری

بنابراین با آگاهی از اندازه دو ضلع از این مثلث می‌توان اندازه ضلع سوم را با رابطه فیثاغورس به دست آورد. با توجه به آن چه بیان کردیم، اندازه ضلع s در مخروط‌های قائم با فرمول زیر به دست می‌آید: شکل زیر را در نظر بگیرید:

تفسیر نوار قلب (ECG یا EKG)

برای شروع با مفاهیم پایه‌ای ECG آغاز می‌کنیم. و به بررسی اینکه چگونه می‌توان ECG را ثبت کرد و فیزیولوژی پایه قلب خواهیم پرداخت.

برای گرفتن ECG بصورت ۱۲ لید، نیاز به ۱۰ الکترود است (بعضی اوقات به الکترود، لید می‌گویند که ما برای پیشگیری از سردرگمی از همان لفظ الکترود استفاده می‌کنیم).

توجه! به یاد داشته باشید تفسیر نوارقلب کار تخصصی است و باید توسط پزشکان متخصص انجام شود. این مقاله نیز صرفا برای مطالعه کادر درمان ، پزشکان و دانشجویان پزشکی تهیه شده است.

اما اگر شما بیمار عزیز راجع به نوارقلب خود یا اطرافیان تان به تفسیر و تحلیل نیاز دارید، روی لینک پایین کلیک کنید تا با یکی از پزشکان متخصص مجموعه نبض آوا، ارتباط بگیرید و به راحتی و در کمترین زمان مشاوره پزشکی دریافت کنید.

هر لید را می‌توان عکسی از فعالیت الکتریکی قلب تصور کرد. ۱۲ لید داریم که از ۱۲ زاویه مختلف با کمک اطلاعات ۱۰ الکترود ثبت می‌شوند. الکترودها شامل ۴ الکترود اندامی و ۶ الکترود قفسه سینه ای است.

وقتی فعالیت الکتریکی(یا دپولاریزاسیون) به سمت یک لید می‌رود، انحنای آن مثبت می‌شود و وقتی فعالیت الکتریکی از یک لید دور می‌شود انحنای آن منفی می‌شود و اگر عمود به آن حرکت کند کمپلکس ایزوالکتریک خواهد بود (مثل موج R و S در V4 که به یک اندازه هستند و می‌توانید در شکل 3 ببینید)

نواحی قلب در ECG یا نوارقلب

نواحی مرتبط با هر لید از نوار قلب طور خلاصه در ذیل آورده شده است:

• V1, V2 = RV (نشانگر بطن راست)
• V3, V4 = septum (نشانگر سپتوم)
• V5, V6 = L side of the heart (نشانگر سمت چپ قلب)
• Lead I = L side of the heart (نشانگر سمت چپ قلب)
• Lead II = inferior territory (نشانگر ناحیه تحتانی)
• Lead III = inferior territory (نشانگر ناحیه تحتانی)
• aVF = inferior territory (remember ‘F’ for ‘feet’) (نشانگر ناحیه تحتانی)
• aVL = L side of the heart (نشانگر سمت چپ قلب)
• aVR = R side of the heart (نشانگر سمت راست قلب)

به طور معمول و حالت استاندارد کاغذ با سرعت ۲۵ میلی متر بر ثانیه حرکت می‌کند و هر مربع بزرگ معادل ۰.۲ ثانیه و هر مربع کوچک معادل ۰.۰۴ ثانیه است.

اجزای ECG (موج ها و فاصله ها)

نوار قلب را می‌توان به اجزای مجزایی تقسیم کرد برای این کار به لید 2 نگاه کنید (شکل 4 را ببینید).

هر بخش نوار قلب چه چیزی را نشان می‌دهد؟

مدت نرمال برای هر قطعه از نوار قلب:

• فاصله PR: بین ۰.۱۲ تا ۰.۲ ثانیه (۳-۵ مربع کوچک)
• QRS: کمتر از 0.12 ثانیه(۳ مربع کوچک)
• QTc: بین ۰.۳۸ تا ۰.۴۲ ثانیه

چگونه نوار قلب را بخوانیم؟ (خواندن ECG / EKG)

سیستم های مختلفی برای تفسیر ECG وجود دارد. این سیستم که ما به بررسی آن می‌پردازیم به شما کمک می‌کند که نکته‌ای را جا نیندازید:

1. اطلاعات بیمار
2. زمان، علت و موقعیت انجام ECG
3. اندازه گیری ضربان قلب در ECG(rate)
4. بررسی ریتم بر روی ECG(rhytm)
5. بررسی محور بر روی ECG(axis)
6. بررسی موج p و فاصله pr (P-wave & PR interval)
7. بررسی موج Q و کمپلکس QRS ( (Q-wave & QRS complex
8. بررسی بخش ST (ST segment)
9. بررسی فاصله QT (QT interval)
10. بررسی موج T (T-wave)

حال اجزای فوق را با جزئیات بیشتری بررسی می‌کنیم.

۱. اطلاعات بیمار

شامل: نام بیمار، تاریخ تولد (برای اطلاع از سن بیمار) و شماره پرونده و تخت بیمار، بخش و محل بیمار

این اطلاعات در دپارتمان اورژانس که پزشکان روزانه با ECG های متعددی رو به رو می‌شوند اهمیت بسیار دارد چراکه به تفسیر مناسب ECG کمک می‌کند و در صورت نیاز به انتقال به بخش های دیگر اقدامات لازم به درستی و راحت تر انجام می‌گیرد.

۲. زمان، علت و موقعیت انجام ECG

• چه زمانی نوار قلب گرفته شده است؟
• اگر چند سری نوار گرفته می‌شود باید نوار قلب شماره گذاری شود
• اگر نگران تغییرات دینامیک در نوار قلب هستیم بهتر است که چند سری نوار قلب درخواست کنیم. (عموماً سه نوار قلب با فاصله ۱۰ دقیقه) تا بتوان آنها را مقایسه کرد. در این موارد باید آنها را با به صورت ۱ ،۲ و ۳ نامگذاری کنیم.
• آیا بیمار هنگام انجام نحوه محاسبه نقاط محوری ECG درد قفسه سینه دارد(chest pain)؟ این علامت یا هر علامت یا نکته بالینی مرتبطی را باید ذکر کنیم. به عنوان مثال اگر به دنبال هایپرکالمی درخواست ECG داریم باید بر روی نوار به سطح پتاسیم اشاره کنیم.

۳. اندازه گیری ضربان قلب (rate) در ECG

ضربان قلب را به روش های مختلفی می‌توان از نوار محاسبه کرد:

راه اول: تعداد QRS ها را بر روی یکی از خطوط ECG (به طور معمول لید ۲) بشمارید و ضربدر ۶ کنید.

راه دوم: تعداد مربع‌های بزرگ بین دو موج R بشمارید و ۳۰۰ را تقسیم بر آن کنید.(یا می‌توانید ۱۵۰۰ را تقسیم بر مربع‌های کوچک بین دو موج R کنید).

اگر بیمار دچار فیبریلاسیون دهلیزی (atrial fibrillation) است، بهتر است به جای یک عدد یک بازه را به عنوان ضربان قلب گزارش کنیم.

۴. بررسی ریتم بر روی ECG(rhytm)

ریتم ضربان منظم است یا نامظم؟ اگر ریتم نامظم است این بی نظمی به صورت منظم اتفاق میافتد یا خیر؟

بررسی ریتم قلبی در برادی‌کاردی و تاکی‌کاردی دشوار است و در این موارد "تست کاغذ" به کمک می‌آید. برای اینکار باید یک کاغذ بر روی نوار قلب گذاشته و بر نوک دو کمپلکس QRS متوالی نقطه‌گذاری کنید. حال فاصله بین دو کمپلکس QRS را داریم و این فاصله باید در بخش های مختلف نوار قلب یکسان باشد تا آن نوار قلب ریتم منظم داشته باشد.

۵. بررسی محور بر روی ECG(axis)

محور(axis) قلب، به مجموع همه فعالیت‌های الکتریکی قلب می‌گوییم.

انقباض قلب از دهلیز آغاز و سپس به بطن‌های راست و چپ می‌رود. از آنجایی که بطن چپ بزرگ‌تر و عضلانی‌تر است، محور نرمال مقداری به سمت چپ است (۳۰- تا ۹۰+ درجه است – مطابق شکل 5)

• به عنوان یک قانون کلی اگر انحنا(Deflection) در لید ۱ و avf مثبت باشد، محور قلب نرمال است.
• اگر لید ۱ انحنای منفی داشته باشد و لید avf مثبت باشد محور قلب انحراف به راست دارد که به آن right axis deviation یا RAD می‌گویند.
• اگر لید ۱ انحنای مثبت نحوه محاسبه نقاط محوری داشته باشد و لید avf منفی باشد محور قلب انحراف به چپ دارد که به آن left axis deviation یا LAD می‌گویند.

اگر بخواهیم با دقت بیشتری محور قلب را محاسبه کنیم می‌توانیم از روش زیر استفاده کنیم:

تعدا مربع‌های کوچک که معادل انحنای مثبت یا منفی در لید avf است را شمرده و به آن مقدار بر روی محور avf با نقطه علامت گذاری می‌کنیم.(مطابق شکل 5) به ازای هر مربع کوچک یک میلی متر در جهت انحنا علامت گذاری می‌کنیم. به عنوان مثال برای انحنای منفی x میلی متر به سمت بالا یا برای انحنای مثبت x میلی متر به سمت پایین علامت‌گذاری می‌کنیم.

سپس همین کار را برای لید ۱ انجام می‌دهیم و در راستای آن لید علامت‌گذاری می‌کنیم. به عنوان مثال x میلی‌متر به سمت راست برای انحنای مثبت حرکت می‌کنیم یا x میلی‌متر به سمت چپ برای انحنای منفی حرکت می‌کنیم.

حال با مشخص شدن مختصات محور قلب در راستای عمودی (محور avf) و افقی (محور لید ۱) می‌توان مختصات محور قلب نحوه محاسبه نقاط محوری را مشخص کرد. که آن مختصات را به مرکز نمودار وصل می‌کنیم. خط که کشیده می‌شود به ما محور قلب را نشان خواهد داد.

علل انحراف محور قلبی

علل انحراف محور قلبی

LAD انحراف به چپ	RAD انحراف به راست
در کودکان و بزرگان لاغرو جوان نرمال است	اگر دیافراگم‌ها بال آمده باشند می‌تواند نرمال باشد (به عنوان مثال در آسیت و یا حاملگی)
در هایپرتروفی بطن راست (RVH)	در هایپرتروفی بطن چپ که به آن LVF یا left ventricular hypertrophy می‌گویند
بیماری های تنفسی	Left anterior hemiblock
امبولی پولمونر (Pulmonary embolism یا PE)	Inferior myocardial infaction
انفارکتوس میوکارد (Anterolateral myocardial infarction)	هایپرکالمی
Left posterior hemiblock (rare)	Vertricular tachycardia (VT)
Septal defect	Paced rhythm

۶. بررسی موج P و فاصله PR (P-wave و PR interval)

آیا می‌توانید موج P را ببینید؟

اگر ریتم قلبی به صورت فیبریلاسیون دهلیزی، فلاتر دهلیزی یا تاکی کاردی جانکشنال (junctional tachycardia) باشد ممکن است نتوانید ببینید.

آیا موج P با کمپلکس QRS همراهی دارد؟

اگر موج P با QRS همراهی نداشته باشد نشان از بلوک کامل قلبی است.

بررسی مورفولوژی موج P

در بعضی کیس ها ممکن است فرورفته یا دو تکه شده باشد (notched or bifid) که شبیه حرف M است و به اسم P Mitral نیز شناخته می‌شود و نشان از هایپرتروفی دهلیز راست است(ناشی از تنگی دریچه میترال یا سایر علل).

در بعضی کیس های دیگر ممکن است موج P بلند و نوک تیز باشد که به آن P pulmonate نیز می‌گویند و نشان از هایپرتروفی دهلیز چپ می‌باشد (عموماً به علت تنگی تریکاسپید و یا هایپرتانسیون پولمونر) همچنین مشابه این موج ممکن است در هیپوکالمی دیده شود که به آن pseudo p-pulmonale می‌گویند.

فاصله PR ممکن است در سندرم هایی مثل Wolff Parkinson White syndrome به علت پیدایش مسیرهای فرعی هدایتی کوتاه شود.

۷. بررسی موج Q و کمپلکس QRS (Q-WAVE و QRS complex)

موج Q

موج Q عبارت است از انحنای رو به پایین ابتدایی، در کمپلکس QRS. که در لیدهای سمت چپ قفسه سینه نرمال است (لید 1 و لید avl و لید V4 و V5)، چراکه این لیدها دپولاریزاسیون سپتال از چپ به راست را نشان می‌دهند.

موج نرمال Q، کمتر از 0.04 ثانیه و کمتر از 2mm عمق دارد. اگر از این موارد بزرگ تر باشد یا در سایر لیدها دیده شود پاتولوژیک است.

کمپلکس QRS

پهنای موج QRS:

عموماً مدت آن کمتر از ۰.۱۲ ثانیه (۳ مربع کوچک است)

علل کمپلکس QRS پهن تر شامل:

• بلوک باندل های شاخه ای(LBBB or RBBB)
• هایپرکالمی
• Paced rhythm
• Ventricular pre-excitation (e.g. Wolf Parkinson White)
• Ventricular rhythm
• Tricyclic antidepressant (TCA) poisoning

شکل و ارتفاع موج QRS:

QRS می‌تواند در شرایطی مثل افیوژن پریکارد، BMI بالا، آمفیزم، کاردیومیوپاتی و آمیلیوئید قلبی کوچک (کم ولتاژ) باشد

QRS در LVH یا هایپرتروفی بطن چپ بلند است.

اگر مجموع ارتفاع موج R در لید V6 و موج S در لید V1 بزرگتر از ۳۵ میلی متر باشد نشان دهنده LVH (هایپرتروفی بطن چپ) است

QRS همچنین می‌تواند در افراد لاغر و جوان نیز بلند باشد.

۸. بررسی قطعه ST (ST segment)

قطعه ST می‌تواند نرمال، elevated یا depressed باشد. به بیان بهتر قطعه ST باید بیش از یک میلی متر در 2 لید اندامی متوالی یا بیش از دو میلی‌متر در دو لید قفسه سینه ای متوالی، elevated یا depressed باشد تا به آن elevation یا depression بگوییم.

به دنبال تغییرات دوطرفه (reciprocal) قطعه ST نیز بگردید.

ST Elevation نشان از افارکتوس است.

ST depression عموماً شان از ایسکمی است همچنین ممکن است در مسمومیت دیگوکسین (digoxin toxicity) به صورت نزولی دیده شود که به آن reverse tick می‌گویند.

ST صعودی

ST صعودی، شبیه ST elevation است که به آن benign early repolarization نیز می‌گویند. عموماً در افراد جوان سالم در لیدهای V2 V3 V4 V5 دیده می‌شود و بی خطر است.

بهترین راه افتراق آن از انفاکتوس موکارد موارد زیر است:

• مقعر بودن آن
• اینکه در لیدهای V2-V5 باشد
• تغییرات دوطرفه ندارند
• در طی زمان تغییر نمی‌کنند
• وجود J-POINT

۹. بررسی فاصله QT (QT interval)

فاصله QT زمان ما بین آغاز موج Q تا پایان موج T است.

فاصله QT به نسبت ضربان قلب اصلاح می‌شود که به آن QTc می‌گویند.

برای یک بررسی سریع، اگر موج T پس از نیمه راه بین دو کمپلکس QRS متوالی باشد QTc طولانی شده است.

این روش خیلی دقیق نیست اما سریع است.

فاصله QT طولانی برای بیماران که در شرح حال آنها از دست دادن موقت هوشیاری یا غش کردن و سنکوپ دارند اهمیت بالایی دارد.

علل QT طولانی

علل QT طولانی

داروها	Tricyclic antidepressants (TCAs) Terfenadine Erythromycin Amiodarone Phenothiazines Quinidine
متابولیک	Hypothermia Hypokalaemia Hypocalcaemia Hypothyroidism
خانوادگی	Long QT syndrome Brugada syndrome Arrhythmogenic RV dysplasia
سایر	IHD Myocarditis

۱۰. بررسی موج T (T-wave)

موج T ممکن است به علل مختلفی صاف یا معکوس شود از جمله:

• انواع نرمال: در avr و v1 و v2 و v3 ممکن است دیده شود.
• ایسکمی
• هایپرتروفی بطبی در لیدهای جانبی
• LBBB موجب معکوس شدن موج T در لیدهای قدامی جانبی می‌شود
• دیگوکسین
• هیپوکالمی موجب صاف شدن موج T می‌شود

تغییرات کلاسیک در هایپرکالمی عبارت اند از:

• موج P کوچک
• موج T قله دار و نوک تیز
• QRS پهن
• نکته:پهن شدن QRS نشان از سمیت قلبی شدید است

خلاصه

با دنبال کردن ۱۰ مرحله فوق برای تفسیر ECG، شما نکته‌ی مهمی را از قلم نمی‌اندازید و یک روش نظام مند برای تفسیر آن را به همراه خواهید داشت. پس این مراحل را ابتدا بخونید و سپس تمرین کنید تا بر آن مسلط شوید.

مطالب این مقاله توسط توسط عرفان زمانی دانشجوی پزشکی دانشگاه علوم پزشکی تهران تهیه و مرور شده است.

شیب خط (slope of a line)

شیب یک خط (slope of a line) عددی است که تندی و جهت نمودار آن خط را توصیف می کند. اگر خط از سمت چپ به راست رو به سمت بالا حرکت کند، شیب (slope) عددی مثبت می باشد. اگر خط از سمت چپ به راست رو به سمت پایین حرکت کند، شیب عددی منفی می باشد. هر چه قدر خط تندتر باشد، قدر مطلق (absolute value) شیب خط بزرگتر خواهد بود.

دانستن پیشاپیش شیب یک خط به شما کمک می کند تا نمودار آن خط را ترسیم کنید. شما می توانید یک نقطه بر روی خط را پیدا کنید و سپس از شیب آن خط و آن نقطه برای ترسیم نمودار آن خط استفاده کنید. یک خط با شیب \(6\) به شدت رو به سمت بالا می رود. اگر شما بدانید خط باید چه شکلی باشد (یعنی، اینکه آیا رو به سمت بالا یا پایین باشد) - اطلاعاتی که از شیب خط دریافت می کنید - برای ترسیم نمودار آن خط هیچ مشکل یا سختی نخواهید داشت.

وقتی که از معادله خط برای مدل سازی وضعیت ها استفاده می شود، مقدار شیب خط مهم است. برای مثال، در معادلاتی که هزینه اقلام خیلی زیادی را نمایش می دهند، مقدار شیب، هزینه نهائی (marginal cost) نامیده می شود. در معادلاتی که استهلاک را نشان می دهند، شیب خط، استهلاک سالانه (annual depreciation) نامیده می شود.

شکل 5-20 چند خط را با شیب آنها نشان می دهد. صرفاً به خاطر راحتی تمامی این خطها از مبدأ عبور می کنند.

در مورد یک خط افقی چطور - خطی که نه رو به سمت بالا و نه رو به سمت پایین می رود؟ یک خط افقی دارای شیب \(0\) می باشد. یک خط عمودی هیچ شیبی ندارد، شیب یک خط عمودی (که بسیار تند است) تعریف نشده (undefined) است. شکل 6-20 به شما نمودارهایی از خطوطی را که دارای شیب \(0\) یا شیب تعریف نشده (undefined) می باشند، نشان می دهد.

نکته: یک روش برای اشاره به شیب، در زمانی که با یک کسر نوشته شده است، روش "rise over run" می باشد. اگر شیب \( <3\over2>\) باشد، یعنی به ازاء هر \(2\) واحدی که خط در امتداد محور \(x\) می پیماید (runs) ، \(3\) واحد در امتداد محور \(y\) بالا می رود (rises). شیب \( \) نشان می دهد که همچنان که خط \(8\) واحد به صورت افقی و موازی با محور \(x\) می پیماید (runs)، \(1\) واحد به صورت عمودی سقوط می کند (negative rise).

به فرمول درآوردن شیب خط (Formulating slope)

اگر شما مختصات دو نقطه را بر روی یک خط بدانید، می توانید عددی را که نشان دهندۀ شیب خط می باشد، محاسبه کنید.

قوانین جبر: شیب یک خط که با حرف \(m\) کوچک نمایش داده می شود، هنگامی که شما مختصات دو نقطه بر روی خط را داشته باشید، بدست می آید. اگر مختصات این دو نقطه \( (x_1,y_1) \) و \( (x_2,y_2) \) باشند، خواهیم داشت:
$$ m = $$

در اینجا زیرنویس ها برای تعیین اینکه کدام نقطه اولین نقطه و کدام دومین نقطه می باشد، مورد استفاده قرار گرفته اند. هیچ قانونی برای تعیین اینکه کدام، کدام است، وجود ندارد. شما می توانید این نقطه ها را به هر روشی که بخواهید نامگذاری کنید. این فقط یک ایده خوب است که آنها را شناسایی کنید تا ترتیبشان را رعایت کنید. اگر این نقاط را در فرمول جابجا کنید، شیب یکسانی را بدست می آورید (هنگامی که ترتیب تفریق را برعکس کنید):
$$ m = $$
شما فقط نمی توانید آنها را با هم ترکیب کنید و \( (x_1 - y_2) \) را بر روی \( (x_2 - y_1) \) قرار بدهید.

اکنون، با مثالهای زیر می توانید چگونگی محاسبه شیب خط را ببینید.

مثال: شیب خطی را که از نقاط \( (3,4) \) و \( (2,10) \) عبور می کند، پیدا کنید.
اجازه دهید \( (3,4) \) به جای \( (x_1,y_1) \) باشد و \( (2,10) \) به جای \( (x_2,y_2) \)\(\) . این مقادیر را در فرمول جایگذاری کنید:
$$ m = = $$
ساده سازی کنید:
$$ m = =-6 $$
این خط همچنانکه از سمت چپ به سمت راست سقوط می کند، دارای شیب کاملاً تند است.

مثال: شیب خطی را که از نقاط \( (4,2) \) و \( (-6,2) \) عبور می کند، پیدا کند.

اجازه دهید \( (4,2) \) نماینده \( (x_1,y_1) \) باشد و \( (-6,2) \) نیز به جای \( (x_2,y_2) \) باشد. مقادیر را در فرمول جایگذاری کنید:
$$ m = = $$
ساده سازی کنید:
$$ m = = 0 $$
هر دوی این نقاط \(2\) واحد بالاتر از محور \(x\) قرار دارند و یک خط افقی را تشکیل می دهند. به همین دلیل هم هست که شیب آن \(0\) شد.

مثال: شیب خطی را که از نقاط \( (2,4) \) و \( (2,-6) \) عبور می کند، پیدا کنید.

فرض کنید \( (2,4) \) به جای \( (x_1, y_1) \) و \( (2,-6) \) به جای \( (x_1, y_2) \) باشند. مقادیر را در فرمول جایگذاری کنید:
$$ m = = $$
عبارت ساده سازی کنید:
$$ m= <-10\over0>$$
اوه! شما نمی توانید عددی را بر \(0\) تقسیم کنید. چنین عددی وجود ندارد. شیب خط وجود ندارد یا تعریف نشده (undefined) می باشد. این دو نقطه بر روی یک خط عمودی قرار دارند.

هشدار: در هنگام کار با فرمول شیب خط (slope formula) مراقب این خطاهای رایج باشید:

• مطمئن گردید که در صورت کسر مقادیر \(y\) را از یکدیگر تفریق می کنید. یک اشتباه رایج اینست که مقادیر \(x\) را در صورت کسر از یکدیگر تفریق می کنند.
  
• مطمئن شوید که اعداد را در ترتیب صحیحی در هنگام تفریق بیاورید. ابتدا تصمیم بگیرید که کدام نقطه را به عنوان اولین نقطه تعیین می کنید و کدام نقطه را به عنوان دومین نقطه در نظر می گیرید. سپس دومین \(y\) را منهای اولین \(y\) کنید و همینطور دومین \(x\) را منهای اولین \(x\) کنید. یک اشتباه رایج اینست که این ترتیب را اشتباه می کنند.
  

ترکیب شیب خط و تقاطع

معادله یک خط می تواند اشکال زیادی داشته باشد. درست همانطور که می توانید یک فرمول را برای بدست آوردن یک متغیر یا متغیر دیگری حل کنید، می توانید معادله یک خط را نیز برای بدست آوردن یکی از متغیرها حل کنید. این تغییر شکل می تواند به شما کمک کند نقاطی را برای ترسیم نمودار خط پیدا کنید یا شیب یک خط را بیابید.

یک شکل رایج و عمومی از معادله یک خط شکل شیب-تقاطع (slope-intercept) می باشد. دلیل این نامگذاری اینست که شیب خط و عرض از مبدأ (y-intercept) خط، به محض دیدن آشکار هستند. هنگامی که یک خط به شکل \(6x+3y=5\) نوشته می شود، شما می توانید با جایگذاری اعداد برای \(x\) یا \(y\) معادله را برای مختصات دیگر حل کنید. اما با استفاده از روشهای حل کردن معادلات خطی (فصل 12 را ببینید) همین معادله می تواند به صورت \(y=-2x+<5\over3>\) نوشته شود، که به شما می گوید شیب خط \(-2\) است و محلی که این خط از محور \(y\) عبور می کند (عرض از مبدأ) برابر با \( \biggl( 0, <5\over3>\biggr) \) می باشد.

قوانین جبر: در موقعیتی که \(y\) و \(x\) نماینده نقاطی بر روی خط باشند، \(m\) شیب خط باشد، و \(b\) عرض از مبدأ خط باشد، شکل شیب-تقاطع (slope-intercept) برابر با \(y=mx+b\) می باشد.

در تمامی موارد زیر، معادله در شکل شیب-تقاطع نوشته شده است. ضریب \(x\) شیب خط می باشد و مقدار ثابت عرض از مبدأ می باشد.

• \(y=2x+3\) : شیب این خط \(2\) می باشد. عرض از مبدء آن \( (0,3) \) می باشد.
  
• \(y=<1\over3>x-2\) : شیب این خط \(<1\over3>\) و عرض از مبدأ آن \( (0,-2) \) می باشد.
  
• \(y=7\) : شیب این خط \(0\) و عرض از مبدأ آن \( (0,7) \) می باشد. شما می توانید این معادله را به شکل \( y = 0 \times x + 7\) تعبیر کنید.
  

شکل شیب-تقاطع (slope-intercept)

اگر معادله خطی هم اکنون در شکل شیب-تقاطع نباشد، حل کردن معادله برای \(y\) آن را به شکل شیب-تقاطع تغییر می دهد.

معادله \(5x-2y=10\) را به شکل شیب-تقاطع تغییر بدهید.

1. جمله دارای \(y\) را در سمت چپ منزوی (تنها) کنید.
   از هر دو سمت معادله \(5x\) را تفریق کنید تا جمله دارای \(y\) را منزوی کنید: \(-2y=-5x+10\)
   
2. معادله را برای \(y\) حل کنید.
   هر دو سمت معادله را بر \(-2\) تقسیم کنید. و هر دو سمت معادله را ساده سازی کنید.
   $$
   = \\
   y= + \\
   y=x-5
   $$
   شیب \(5\over2\) و عرض از مبدأ در نقطۀ \((0,-5)\) می باشد.
   

ترسیم نمودار با شیب-تقاطع

یکی از مزایای داشتن معادله ای در شکل شیب-تقاطع اینست که ترسیم نمودار خط، همچنان که در مثال بعدی خواهید دید، یک کار نسبتاً سریع می باشد.

مثال: نمودار \(y=<3\over2>x+1\) را ترسیم کنید.

شیب این خط \( <3\over2>\) می باشد، و عرض از مبدأ آن \( (0,1) \) است. ابتدا عرض از مبدأ را روی نمودار ترسیم کنید (شکل 7-20 را ببینید). سپس با استفاده از تفسیر روش "rise-over-run" می توانید با داشتن نقطه ای روی نمودار، و داشتن شیب خط نقطه دیگری را به شکلی که در ادامه خواهید دید، ترسیم کنید. با استفاده از روش "rise-over-run" ابتدا از نقطه عرض از مبدأ \(2\) خانه به سمت راست بروید و از آنجا \(3\) خانه به سمت بالا بروید. در نهایت باید به نقطۀ \((2,4)\) رسیده باشید.

روش "rise-over-run" چیزی شبیه یافتن محل گنج می ماند: "دو قدم رو به سمت مشرق، سه قدم رو به سمت شمال، حالا همانجا را حفر کنید!". تنها تفاوت در اینست که ما در اینجا به جای کندن چاله نقطه را در آن محل ترسیم می کنیم و سپس این نقطه را با یک خط راست به نقطه آغازین یعنی نقطه عرض از مبدأ متصل می سازیم. به سمت راست شکل 7-20 یعنی قسمت b نگاه کنید تا کار انجام شده را ببینید.

استفاده از یک نقطه و شیب خط یک روش ساده و سریع برای ترسیم یک خط می باشد، بنابراین من یکبار دیگر آن را به شما نشان می دهم.

مثال: نمودار معادله \(y=-3x+2\) را ترسیم کنید.

ابتدا، عرض از مبدأ که نقطه \( (0,2) \) می باشد، را ترسیم کنید. به شیب خط که \(-3\) می باشد، به صورت کسری فکر کنید که می شود \(<-3\over1>\) . با این روش، حرکت افقی شما \(1\) خانه می باشد. در اینجا چون صورت کسر یعنی \(3\)، عددی منفی می باشد، حرکت رو به بالای شما تبدیل به حرکت رو به پایین می گردد. از عرض از مبدا یعنی مختصات \( (0,2) \) تعداد \(1\) خانه به سمت راست و سپس \(3\) خانه به سمت پایین حرکت کنید، مقصد نقطه \( (1,-1) \) خواهد بود. آن نقطه را به نقطۀ عرض از مبدأ متصل سازید. شکل 8-20 خط \(y=-3x+2\) را که شیب آن \(-3\) می باشد به شما نشان می دهد.

آموزش اولیه تحلیل تکنیکال: حمایت و مقاومت در قیمت سهم چیست؟

حتما عبارت «حمایت و مقاومت» را از زبان تحلیل گران تکنیکال بارها شنیده‌اید.

حمایت و مقاومت (به انگلیسی Support & Resistance) ارائه دهنده ی نقاط اتصال کلیدی و مهمی هستند که در آنها نیروهای عرضه و تقاضا به هم می‌رسند.

در بازارهای مالی، قیمت‌ها توسط عرضه (به سمت پائین) و تقاضای (به سمت بالا) بیش از حد هدایت می‌شوند.

عرضه با کاهش قیمت‌ها، فروشندگان و فروش هم ردیف است و تقاضا نیز با افزایش قیمت‌ها، خریداران و خرید.

هر گاه تقاضا افزایش یابد قیمت‌ها بالا می‌روند و هر گاه عرضه افزایش یابد قیمت‌ها پائین می آیند.

هنگامی‌که عرضه و تقاضا برابر هستند، قیمت‌ها نیز همگام با مبارزه خریداران و فروشندگان به کندی بالا و پائین می روند.

در تصویر زیر بصورت کلی حمایت و مقاومت در تحلیل تکنیکال نشان داده است.

حمایت چیست؟

حمایت سطحی از قیمت است که تصور می‌شود در آن تقاضا آنقدر قوی باشد که از سقوط بیشتر قیمت جلوگیری کند. در سطح حمایت انتظار می‌رود خریداران به خرید راغب‌تر شوند و فروشندگان تمایل کمتری به فروش پیدا کنند.

اعتقاد بر این است که زمانیکه قیمت به سطح حمایت می‌رسد، تقاضا معمولا بیشتر از عرضه می‌شود و از سقوط قیمت به زیر سطح حمایت جلوگیری می‌کند.

البته همیشه اینطور نیست و هیچ سطح حمایتی را نمی‌توان دائمی دانست.

یک سطح حمایت، ممکن است شکسته شود و سطوح حمایت سطوحی دائمی یا قطعی نیستند.

در تصویر زیر نمودار سهم مپنا همراه با سطوح حمایت با دایره ای زرد رنگ مشخص شده است.

در این تصویر سطوح مقاومت نیز با دایره‌های قرمز مشخص شده و هم سطح بودن این قیمت‌ها را می‌توان به سادگی مشاهده کرد.

خط حمایت

خط حمایت خطی است که از اتصال و امتداد نقاط حمایت در یک راستا ایجاد می‌شود. این خط همیشه پایدار نمی‌ماند و شکسته شدن قیمت به زیر این خط نشان دهنده‌ی افزایش فشار فروشندگان است.

سقوط قیمت به زیر این سطح نشان‌دهنده یک تمایل جدید به فروش و / یا انگیزه‌ی کمتر برای خرید است.

شکست خط حمایت و کف‌های جدید قیمت نشان می‌دهد که فروشندگان توقعات خود را پائین آورده‌اند و حاضرند آن دارایی یا سهام را بازهم به قیمت‌های کمتری بفروشند.

بعلاوه خریداران تا زمانیکه قیمت‌ها به زیر خط حمایت و کمتر از کف قبلی سقوط نکند، ترغیب به خرید نخواهند شد. وقتی خط حمایت شکسته شود باید یک خط حمایت جدید در سطح پایین‌تری ایجاد شود.

در تصویر زیر خط حمایت در نمودار سهام شرکت سرمایه‌گذاری معادن فلزات نشان داده شده است.

مقاومت چیست؟

مقاومت سطحی از قیمت است که تصور می‌شود در آن فروش آنقدر قوی باشد که از افزایش بیشتر قیمت جلوگیری کند. هنگامیکه قیمت بسمت سطح مقاومت بالا می‌رود، فروشندگان به فروش راغب‌تر شوند و خریداران تمایل کمتری به خرید پیدا کنند.

اعتقاد براین است که زمانیکه قیمت به سطح مقاومت می‌رسد، عرضه از تقاضا افزایش می‌یابد و از افزایش قیمت به بالای سطح مقاومت جلوگیری می‌کند.

البته سطوح مقاومت نیز دائمی نیستند و نحوه محاسبه نقاط محوری همواره احتمال شکسته شدن آنها وجود دارد.

در تصویر زیر نمودار سهام شرکت ذوب آهن، سطوح مقاومت با دایره‌ای قرمز رنگ مشخص شده است. در این تصویر سطوح حمایت را با دایره‌های زرد رنگ می‌توانید ببینید.

خط مقاومت

خط مقاومت خطی است از اتصال و امتداد نقاط مقاومت ایجاد می‌شود. این خط همیشه پایدار نمی‌ماند و افزایش قیمت به بالای این خط نشان‌دهنده‌ی بیشتر شدن تقاضا از عرضه است.

افزایش قیمت به بالای این سطح نشان دهنده‌ی یک تمایل جدید به خرید و / یا انگیزه‌ی کمتر برای فروش است.

شکست خط مقاومت و اوج‌های جدید قیمت نشان می‌دهد که خریداران توقعات خود را بالا برده‌اند و حاضرند باز هم آن دارایی یا سهام را در قیمت‌های بالاتر خریداری کنند.

بعلاوه فروشندگان تا زمانیکه قیمت‌ها به بالای خط مقاومت و بیش از اوج قبلی صعود نکنند ترغیب به فروش نخواهند شد. وقتی خط مقاومت شکسته شود باید یک خط مقاومت جدید در سطح بالاتری روی نمودار رسم شود.

در زیر خط مقاومت نمودار سهام شرکت سرمایه گذاری سایپا نشان داده شده است.

سطوح حمایت و مقاومت چگونه در قیمت‌ها ایجاد می‌شوند؟

حمایت و مقاومت مانند تصاویر قرینه در آیینه هستند و خصوصیات مشترک زیادی دارند.

1) اوج‌ها و فرودها

حمایت می‌تواند با استفاده از نقاط عطف پایین قبلی ایجاد شود و مقاومت می‌تواند با استفاده از نقاط عطف بالای قبلی ایجاد شود.

در دو تصویر نمودار قیمت مپنا و ذوب آهن که در بالا مشاهده شد نقاط اوج‌ها و فرود‌ها مشخص شده است.

یک اصل دیگر تجزیه و تحلیل تکنیکال تصریح می‌کند که سطح حمایت می‌تواند به سطح مقاومت تبدیل شود و برعکس.

وقتی‌که قیمت به بالای سطح مقاومت نفوذ می‌کند، سطح مقاومت شکسته شده می‌تواند تبدیل به حمایت شود.

شکست مقاومت، نشان دهنده‌ی پیروزی نیروی‌ تقاضا بر نیروی عرضه است.

در تصویر زیر سطح مقاومت در نمودار سهام قند اصفهان به سطح حمایت تبدیل شده است.

در تصویر زیر تبدیل خط مقاومت به خط حمایت را در نمودار حفاری شمال شاهد هستیم.

روی دیگر سکه تبدیل حمایت به مقاومت است.

ریزش قیمت به پایین سطح حمایت، تغییر در عرضه و تقاضا را نشان می‌دهد.

شکست حمایت نشان‌دهنده این است که نیروی عرضه بر نیروی تقاضا پیروز شده است.

در تصویر زیر خط حمایت شرکت مپنا مشاهده می‌شود که به خط مقاومت تبدیل شده است.

2) محدوده‌ی معامله

محدوده‌های معامله (به انگلیسی trading range) می‌توانند نقش مهمی را در تعیین اینکه سطوح حمایت و مقاومت یک نقطه عطف هستند و یا الگوهای تکرار شدنی، ایفا کنند.

محدوده‌ی معامله یا محدوده رنج یک دوره زمانی است که در آن قیمت‌ها در یک دامنه‌ی نسبتا محدود تغییر می‌کند.

این نشان می‌دهد که نیروهای عرضه و تقاضا با هم در تعادل هستند.

به عبارت دیگر، محدوده رنج محدوده‌ای است که در ان روندی نزولی یا صعودی وجود ندارد.

وقتی که قیمت از این محدوده خارج شود و بالا یا پایین رود، بدین معنی است که یکی از طرفین خریداران یا فروشندگان در بازار پیروز شده است.

اگر قیمت بالاتر رود یعنی خریداران (تقاضا) و اگر پایین‌تر رود یعنی فروشندگان (عرضه) برنده میدان شده‌اند. در تصویر زیر محدوده رنج فولاد خوزستان در محدوده 2450 تومان تا 2800 تومان مشاهده می‌شود و شکست هر یک از این دوخط روند قیمت را مشخص خواهد کرد.

3) مناطق حمایت و مقاومت (Support and Resistance Zone)

از آنجائیکه تحلیل تکنیکال، علم دقیقی نیست بعضی اوقات مشخص کردن مناطق حمایت و مقاومت می‌تواند کارآمد باشد.

اوراق بهادار ویژگی‌های خاص خود را دارند و تحلیل آنها باید با در نظر گرفتن پیچیدگی‌های آنها انجام شود. گاهی اوقات خطوط دقیق بهترین انتخاب هستند و بعضی اوقات مناطق حمایت و مقاومت بیشتر به کار می‌آیند.

اگر محدوده‌ی معامله کمتر از دو ماه دوام آورد و تغییر قیمت نیز نسبتا کم باشد، سطوح حمایت و مقاومت کاربرد دقیقتری دارد. اگر محدوده معامله چندین ماه ادامه یابد و تغییرات قیمت نیز نسبتا زیاد باشد، بهتر است به جای سطوح حمایت و مقاومت، از محدوده‌های حمایت و مقاومت استفاده شود.

سطوح حمایت و مقاومت، سطوح دقیقی هستند در حالیکه محدوده‌های حمایت و مقاومت یک محدوده خاص از قیمت را نمایش می‌دهند.

این نکات فقط راهنمایی‌های کلی نحوه محاسبه نقاط محوری در تحلیل تکنیکال هستند و هر محدوده‌ی معامله باید با شرایط خودش قضاوت شود. در تصویر زیر محدوده حمایت شرکت سایپا در نمودار بلند مدت مشاهده می‌شود.

نتیجه گیری

تشخیص سطوح کلیدی حمایت و مقاومت یک اصل مهم در تحلیل تکنیکال است.

اگر چه گاهی اوقات تعیین خطوط دقیق حمایت و مقاومت مشکل است اما شناسایی موقعیت آنها توانایی تحلیل و پیش‌بینی را به شدت بهبود می‌بخشد.

وقتی قیمت اوراق بهادار به یک سطح حمایت مهم نزدیک می‌شود، باید آنرا به عنوان یک هشدار برای افزایش فشار خرید دانست، مگر اینکه خلاف آن اتفاق بیفتد و در سطح حمایت موردنظر، تقاضا نتواند بر عرضه پیروز شود.

اگر قیمت اوراق بهادار به یک سطح مقاومت نزدیک می‌شود، باید آنرا بعنوان یک هشدار برای افزایش فشار فروش دانست، مگر اینکه خلاف آن اتفاق بیفتد و در سطح مقاومت موردنظر، عرضه نتواند بر تقاضا پیروز شود و مقاومت رو به بالا شکسته شود.

شکسته شدن یک سطح حمایت و مقاومت نشانه‌ی پیروزی یکی از طرفین عرضه و تقاضا است.

شکسته شدن خط مقاومت نشان دهنده‌ی پیروزی تقاضا (خریداران) و شکسته شدن خط حمایت نشان دهنده‌ی پیروزی عرضه (فروشندگان) است.

قصد شروع سرمایه‌گذاری در بورس را دارید؟ اولین قدم این است که افتتاح حساب رایگان را در یکی از کارگزاری‌ها انجام دهید:

برای سرمایه‌گذاری و معامله موفق، نیاز به آموزش دارید. خدمات آموزشی زیر از طریق کارگزاری آگاه ارائه می‌شود:

قصد خرید یا فروش ارز دیجیتال در ایران را دارید؟ در این سایت می‌توانید با اطمینان و با چند کلیک خرید کنید:

نحوه محاسبه مساحت مخروط همراه با مثال های کاربردی

یکی از اشکال هندسی سه بعدی مخروط است که با برخی ویژگی‌ها و تعریف آن در مطلب محاسبه حجم مخروط آشنا شدیم. در این مطلب قصد داریم تا با جزئیات بیشتری به تعریف مخروط پرداخته، با برخی ویژگی‌ها و انواع مخروط آشنا شویم. در ادامه نحوه محاسبه مساحت مخروط را با استفاده از چند مثال کاربردی آموزش خواهیم داد.

با رایاد تا انتهای این مقاله همراه باشید.

مخروط و ویژگی‌های آن

مخروط به یکی از گونه‌های هرم گفته می‌شود که قاعده آن دایره‌ای است. مخروط‌ها اشکال هندسی ۳ بُعدی هستند که از سطح مقطع مخروط به آرامی یا به سرعت (بسته به سطح قاعده و ارتفاع مخروط) تا راس مخروط باریک می‌شوند.

در تعریف جزئی‌تر می‌توان گفت که مخروط شکل هندسی سه بُعدی است که توسط یک صفحه پایه یا همان سطح مقطع مخروط محدود شده و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی هستند که نوک مخروط را به نقاط پیرامون سطح مقطع متصل می‌کنند.

توجه داشته باشید که هم رویه این شکل هندسی توپر و هم رویه پهلویی آن هر دو شکل هندسی مخروط به شمار می‌آیند.

ویژگی های مخروط

• راس مخروط همان نقطه انتهایی آن است.
• سطح مسطح مخروط قاعده آن نامیده می‌شود.
• مخروط دارای یک پایه مسطح است.
• مخروط دارای یک وجه منحنی شکل است.
• مخروط دارای یک سطح منحنی است و به همین دلیل چندوجهی محسوب نمی‌شود.
• مخروط نوعی مثلث است که از چرخاندن این مثلث تشکیل می‌شود.
• مثلث مذکور باید یک زاویه قائمه داشته باشد و حول یکی از دو ضلع کوتاهش یا همان ضلع‌های غیر وتری چرخش داده شود.
• ضلع وتر مثلث حول محور مخروط می‌چرخد.
• در مخروط قائم فاصله همه نقاط روی قاعده دایره‌ای از رأس مخروط یکسان است.
• در مخروط قائم محور مخروط بر مركز قاعده عمود است.

انواع مخروط

مخروط‌ها دو نوع قائم یا اریب را شامل می‌شوند. مخروط قائم به مخروطی گفته می‌شود که محور آن روی مرکز قاعده عمود باشد. همچنین در این مخروط فاصله تمام نقاط روی قاعده از راس مخروط با همدیگر برابر است.

با وجود این، در مخروط‌های اریب، محور مخروط روی مرکز قاعده عمود نیست و فاصله نقاط روی قاعده از راس مخروط با یکدیگر متفاوت است.

نکته مهم در مورد مخروط‌های قائم و اریب این است که حجم یک مخروط اریب با مساحت قاعده معین و ارتفاعی مشخص می‌تواند با حجم مخروطی قائم با همان مساحت و ارتفاع معین برابر باشد.

مساحت مخروط

برای محاسبه مساحت مخروط باید مساحت جانبی مخروط را با مساحت قاعده آن جمع کنیم. در ابتدا نحوه محاسبه مساحت جانبی مخروط را بررسی می‌کنیم.

مساحت جانبی مخروط

برای محاسبه اندازه سطح جانبی مخروط می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم.

Sجانبی = π × r × s

در فرمول فوق، S نماد مساحت جانبی، π نماد عدد پی و معادل ۳/۱۴ بوده و r و s به ترتیب شعاع قاعده و طول ضلع مخروط هستند.

محاسبه اندازه ضلع مخروط

برای محاسبه s یا ضلع مخروط می‌توانیم از رابطه فیثاغورس استفاده کنیم. در واقع، در مخروط‌های فوق می‌بینیم که شعاع قاعده، محور و ضلع مخروط مثلثی قائم الزاویه را با هم تشکیل می‌دهند.

بنابراین با آگاهی از اندازه دو ضلع از این مثلث می‌توان اندازه ضلع سوم را با رابطه فیثاغورس به دست آورد. با توجه به آن چه بیان کردیم، اندازه ضلع s در مخروط‌های قائم با فرمول زیر به دست می‌آید: شکل زیر را در نظر بگیرید:

مساحت کل مخروط

همان طور که اشاره کردیم،‌ مساحت کل مخروط از مجموع مساحت جانبی و مساحت قاعده آن به دست می‌آید.

پس از آشنایی با نحوه محاسبه مساحت جانبی مخروط، حال می‌توانیم با محاسبه مساحت قاعده آن که یک دایره است، مساحت کل شکل را به دست آوریم.

از آنجایی که با نحوه محاسبه مساحت دایره آشنا هستیم، پس فرمول مساحت قاعده مخروط را به شرح زیر داریم:

در فرمول فوق نیز S نماد مساحت قاعده، π نماد عدد پی و معادل ۳/۱۴ و r شعاع قاعده مخروط است. به این ترتیب اگر مساحت قاعده را با مساحت جانبی مخروط جمع کنیم، فرمول مساحت کل آن به صورت زیر خواهد بود:

در فرمول فوق، A نماد مساحت کل مخروط، π نماد عدد پی و r و s به ترتیب شعاع قاعده و طول ضلع مخروط هستند. برای درک بهتر کاربرد این فرمول در ادامه چند مثال را حل می‌کنیم.

مثال: مساحت کل مخروط‌های زیر را به دست آورید؟

برای محاسبه مساحت شکل هندسی مخروط، ابتدا مساحت قاعده مخروط‌ ها و سپس اندازه مساحت جانبی آن‌ها را محاسبه کرده و مقادیر را با هم جمع می‌کنیم.

همچنین برای محاسبه مقادیر s در هر دو مخروط می‌توانیم با در دست داشتن اندازه دو ضلع مثلث قائم الزاویه، مقدار ضلع سوم را از رابطه فیثاغورس محاسبه کنیم. بنابراین خواهیم داشت:

مثال: فرض کنید کلاهی مخروطی شکل برای جشن تولد تهیه کرده‌ایم. شعاع قاعده این کلاه ۸ سانتی متر و ارتفاع آن ۶ سانتی متر است. حال میخواهیم رویه این کلاه را با روکشی رنگی بپوشانیم. برای این کار به چند سانتی متر مربع کاغذ رنگی نیاز داریم؟

برای حل این مسئله باید بتوانیم مساحت جانبی مخروط را محاسبه کنیم.

همان طور که در این مطلب آموزش دادیم، با محاسبه اندازه ضلع مخروط از طریق رابطه فیثاغورس و جایگذاری مقادیر شعاع و اندازه ضلع در فرمول مساحت جانبی می‌توانیم مقدار کاغذ رنگی مورد نیاز را به دست آوریم. بنابراین خواهیم داشت:

کلام آخر:

در این مقاله به مبحث مساحت مخروط و مثال کاربردی آن پرداختیم.اگر برای بدست آوردن مساحت دیگر اشکال هندسی نیازمند راه حل آسان هستید پیشنهاد رایاد به شما مطالعه مقاله مساحت و محیط اشکال هندسی است.

محاسبه ضریب طول نحوه محاسبه نقاط محوری موثر ستون به همراه حل 4 مثال جامع

همانطور که می دانید اگر نیروی فشاری وارد بر عضو می تواند به اندازه‌ای بزرگ باشد که سبب ناپایداری عضو شود اما این نیروی بحرانی به واسطه ضریبی به نام ضریب طول موثر بدست می آید اما ضریب طول موثر چیست؟ ضریب طول موثر ستون در قاب خمشی چگونه محاسبه می شود؟ آیا اصلا نوع سیستم سازه ای بر ضریب طول موثر تاثیر گذار است؟

در این مقاله جامع ابتدا مفهوم ضریب طول موثر را بیان خواهیم کرد و سپس به محاسبه ضریب طول موثر در ستون با حل 4 مثال خواهیم پرداخت.

در این مقاله چه می آموزیم؟

مفهوم ضریب طول موثر

به فاصله بین دو نقطه‌ ی عطفِ کمانش ستون، تحت بار فشاری طول مؤثر یا L_e گفته می‌ شود و ضریبی که طول اصلی ستون را به طول مؤثر تبدیل می‌ کند، ضریب طول مؤثر نامیده شده و با نماد K نشان داده می‌ شود. نقطه‌ ی عطف در تعدادی ستون با شریط تکیه‌ گاهی متفاوت در شکل‌ های زیر مشاهده می‌ شوند. ضریب K به عوامل مختلفی نظیر شرایط تکیه‌ گاهیِ ابتدایی و انتهایی، سختی و تیرهای متصل به ستون بستگی دارند.

شکل 1- ضریب طول موثر تعدادی ستون با شرایط تکیه‌گاهی متفاوت

زمانی که سازه تحت ‌فشار قرار گیرد، احتمال وقوع کمانش وجود دارد. کمانش به‌ صورت تغییر شکل جانبی ناگهانی در یک عضو سازه‌ ای تعریف می‌ شود. زمانی که نیروی وارد شده بر سازه مانند یک ستون افزایش می‌ یابد، این نیرو ممکن است به اندازه‌ ای بزرگ باشد که سبب ناپایداری عضو شود، در این حالت به اصطلاح سازه تحت کمانش قرار گرفته ‌است. پس از وقوع کمانش، بارگذاریِ بیشتر سبب تغییر شکل‌ های زیاد و تا حدودی غیر قابل پیش‌ بینی می‌ شود که ممکن است سبب از بین رفتن کامل ظرفیت باربری عضو شود.

این مقدار بار که موجب کمانش و ناپایداری عضو فشاری می‌ گردد، بار بحرانی کمانش نامیده می شود و پس از حل معادلات دیفرانسیل و اعمال شرایط مرزی از رابطه زیر با عنوان رابطه اولر بدست می‌ آید:

با توجه به رابطه فوق، ضریب طول مؤثر و بار بحرانی رابطه‌ ی عکس‌ دارند و در نتیجه هر چه ضریب طول مؤثر بزرگ‌ تر شود، بار بحرانی قابل‌ تحمل ستون کاهش‌ یافته و ستون ضعیف‌ تر می‌ شود. بهترین شرایط حدی برای یک ستون حالتی است که دو انتهای آن گیردار باشد. در چنین حالتی بار بحرانی ستون بیشتر از سایر حالات تکیه‌ گاهی به دست می‌ آید.

ضریب طول مؤثر با شرایط تکیه‌گاهی ایده آل

در تصویر زیر، تعدادی ستون همراه با شرایط مرزی مختلف و ضرایب طول مؤثر آن‌ ها نشان داده‌ شده است. چون شرایط ایجاد گیرداری کامل همواره در عمل امکان‌ پذیر نیست، لذا آیین‌ نامه‌ های طراحی از جمله مبحث دهم مقررات ملی ایران و هم چنین AISC360 بعضاً مقادیر بزرگ‌ تری را برای ضریب طول مؤثر ستون‌ ها پیشنهاد می‌ کنند (که مقادیرِ پیشنهادی جهت طراحی می‌ باشند).

همان‌ طور که در جدول بالا ملاحظه می‌ شود ضرایب طول مؤثر ارتباط مستقیمی با شرایط تکیه‌ گاهی ابتدایی و انتهایی دارند. بهترین شرایط تکیه‌ گاهی و در نتیجه بیشترین بار بحرانی قابل‌ تحمل برای ستون در حالت دو سر گیردار رخ می‌ دهد. که ضریب طول مؤثر آن 0.5 است که حرکت دورانی و انتقالی ابتدا و انتهای آن مقید است.

ضریب طول مؤثر ستون‌ها در قاب‌های ساختمانی با قید جانبی مقید (مهارشده)

در سازه‌ های واقعی، شرایط تکیه‌ گاهی به‌ ندرت کاملاً گیردار یا مفصلی هست و دو انتهای ستون به‌ واسطه سختی خمشی اعضای متصل به آن‌ ها یعنی تیرها، در مقابل دوران نیمه صلب هستند. مقدار طول مؤثر برای ستون‌ ها، بین L/2 و L می‌ باشد که مقدار دقیق آن از نسبت ستون به مجموع تیرهای متصل به ستون به دست می آید.

قاب مهار شده یا مقید شده در برابر حرکت جانبی جزء قاب‌ های ساختمانی بوده که برای تأمین پایداری جانبی از یک سیستم باربر جانبی مجزا مانند بادبند یا دیوار برشی استفاده می‌ کند. در این قاب برای تامین پایداری جانبی، حضور بادبند یا دیوار برشی الزامی بوده و اتصالات تیر به ستون می‌ تواند مفصلی یا گیردار باشند.

در قسمت قبل مشاهده گردید که مقدار ضریب K در ستون‌ هایی که حرکت جانبی آن‌ ها مقید است بین 0.5 و 1 می‌ باشد. لذا مبحث دهم مقررات ملی ساختمان به‌ طور محافظه‌ کارانه‌ ای توصیه کرده که ضریب طول مؤثر در قاب‌ های مقید برای اعضای فشاری 1 در نظر گرفته شود (با افزایش ضریب طول موثر، بار بحرانی کمانش کاهش می‌ یابد).

اما اگر بخواهیم مقدار دقیقِ ضریب طول مؤثر را در قاب‌ های مهارشده محاسبه نماییم باید مطابق زیر عمل نمود:

در ابتدا برای دو سر ابتدا و انتها باید پارامتر G محاسبه شود.

پس از محاسبه ی G_A و G_B، ضریب K از فرمول زیر محاسبه می‌ شود:

همچنین می توان از فرمول محاسبه ضریب طول موثر (K) که پیشنهاد مبحث دهم مقررات ملی ساختمان در پیوست 1 است استفاده کرد.

استفاده از نمو گراف جهت تعیین ضریب طول مؤثر در قاب مقید شده

جهت محاسبه ضریب طول موثر (K)، علاوه بر فرمول‌ های بالا، می‌ توان از نموگراف هم استفاده نمود. بدین منظور کافیست G_A و G_B به کمک رابطه‌ های فوق محاسبه گردند، سپس با علامت زدن مقدار آنها در نموگراف زیر و متصل نمودن آنها به یکدیگر، ضریب K را بدست آورد. در پایان این مقاله، نحوه‌ ی استفاده از این نموگراف در قالب یک مثال کاربردی توضیح داده خواهد شد.

شکل 3- نمو گراف جهت تعیین طول موثر

ضریب طول مؤثر ستون‌ها در قاب‌های ساختمانی با قید جانبی آزاد (مهارنشده)

منظور از قاب ساختمانی مهار نشده ( با قید آزاد) یا حرکت جانبی آزاد این است که پایداری جانبی از طریق سختی اعضای قاب (تیرها و ستون‌ هایی که با اتصالات صلب به یکدیگر متصل هستند) تأمین می‌ شود و از مهاربند، دیوار برشی و سایر سیستم‌ های باربر جانبی استفاده نشده است. ضریب طول مؤثر پس از تجزیه‌ و تحلیل شرایط مختلف مانند سختی و طول اعضا تعیین می‌ شود و در قاب‌ های مهار نشده هیچ‌ گاه نباید مقدار K کمتر از 1 در نظر گرفته شود(مانند ضریب طول موثر در قاب خمشی).

با استفاده از رابطه زیر به محاسبه ضریب طول مؤثر می پردازیم:

لازم به ذکر است روش محاسبه‌ ی G_A و G_B مشابه با قاب مقید (مهارشده) می‌ باشد که در بخش قبل معرفی گردید.

استفاده از نمو گراف جهت تعیین ضریب طول مؤثر در قاب با حرکت جانبی آزاد

همانطور که در بخش قبل هم ذکر شد، جهت تعیین K باید مقادیر G_A و G_B را روی محورهای مخصوص به خود علامت زده سپس دو نقطه را با خطی مستقیم به یکدیگر وصل نماییم. تقاطع خط رسم شده با محور K مقدار ضریب طول مؤثر را نشان می‌ دهد.

شکل 4- تعیین طول موثر با استفاده از نمو گراف

مقایسه ضریب طول مؤثر در قاب‌ های ساختمانی

از بین ستون‌ های مقید در برابر حرکت جانبی (مهارشده) ستونی که دوران آزاد دارد و دو سر مفصل است، بیشترین ضریب طول مؤثر را دارد که برابر است با K=1، در نتیجه این ستون کمترین بار بحرانی را خواهد داشت. این بدین معناست که در سایر شرایط تکیه‌ گاهی در قاب‌ های مهار شده، ضریب طول موثر کوچکتر بوده و بار بحرانی بیشتر خواهد بود در نتیجه، ستون‌ ها قوی‌ تر می‌ باشند. لذا برای ستونی که در برابر حرکت جانبی مقید است، محدوده ضریب طول مؤثر ستون بین 0.5 و 1 می‌ باشد.

در بین ستون‌ هایی که حرکت جانبی آن‌ ها آزاد است (مهار نشده)، ستونی که دو انتهای آن در برابر دوران مقید‌ اند (اتصال صلب)، دارای بهترین حالت و کمترین ضریب طول مؤثر و بیشترین بار بحرانی هست. لذا حداقل ضریب طول مؤثر ستون با حرکت جانبی آزاد برابر 1 است.(k≥1)

بنابراین همان‌ طور که ملاحظه می‌ کنید ضریب طول مؤثر در قاب ساختمانی مهار نشده در مقایسه با قاب ساختمانی مهار شده، بزرگتر می‌ باشد، لذا با توجه به این موضوع و توجه به این نکته که مقاومت جانبی قاب‌ های مهارنشده را صرفاً سختی تیر ستون تامین می‌ کند، این نوع قاب هزینه ساخت بالایی دارد.

ضوابط و نکات محاسبه ضریب طول مؤثر

نکات تکمیلی زیر در محاسبه‌ ضریب طول موثر باید مورد توجه قرار گیرند.

برای قاب مهار شده

• برای تیرهای طره‌ای متصل به عضو فشاری، مقدار EI/L مساوی صفر در نظر گرفته می‌ شود و تأثیری در دوران ستون ندارد.
• هرگاه انتهای نزدیک تیر متصل به عضو فشاری ( انتهای نزدیک تیر به گره مورد بررسی A یا B) مفصلی باشد، EI/L آن تیر مساوی صفر در نظر گرفته می‌ شود و نقشی در دوران ستون ندارد.
• هرگاه انتهای دور تیر متصل به عضو فشاری مفصلی باشد، آن تیر باید در 1.5 ضرب شود.
• هرگاه انتهای دور تیر متصل به عضو فشاری به تکیه‌ گاه با دوران مقید لیکن انتقال جانبی آزاد متصل باشد،EI/L آن تیر باید در ضرب شود.
• مقدار G برای تکیه‌گاه‌ های مفصلی از لحاظ نظری بی‌ نهایت است ولی در عمل به علت گیرداری کمی که این‌ گونه تکیه‌ گاه‌ ها دارند، مقدار G برای آن‌ ها 10 در نظر گرفته می‌ شود. مقدار G برای تکیه‌ گاه‌ های گیردار از لحاظ نظری صفر است، ولی در عمل به علت شکل‌ پذیری که این‌گونه تکیه‌گاه‌ ها دارند، مقدار G برای آن‌ ها مساوی 1 در نظر گرفته می‌ شود.

برای قاب مهار نشده

• برای تیرهای طره‌ای متصل به عضو فشاری، مقدارEI/L مساوی صفر در نظر گرفته می‌ شود و تأثیریی در دوران ستون ندارد.
• هرگاه انتهای نزدیک تیر متصل به عضو فشاری ( انتهای نزدیک تیر به گره مورد بررسی A یا B) مفصلی باشد، EI/L آن تیر مساوی صفر در نظر گرفته می‌ شود و نقشی در دوران ستون ندارد.
• هرگاه انتهای دور تیر متصل به عضو فشاری مفصلی باشد، EI/L آن تیر باید در 2/3 ضرب شود.
• هرگاه انتهای دورِ تیر متصل به عضو فشاری مفصلی باشد، EI/L آن تیر باید در 0.5 ضرب شود.
• مقدار G برای تکیه‌ گاه‌ های مفصلی از لحاظ نظری بی‌نهایت است ولی در عمل به علت گیرداری کمی که این‌ گونه تکیه‌ گاه‌ ها دارند، مقدار G برای آن‌ ها 10 در نظر گرفته می‌ شود. مقدار G برای تکیه‌ گاه‌ های گیردار از لحاظ نظری صفر است، ولی در عمل به علت شکل‌ پذیری که این‌ گونه تکیه‌ گاه‌ ها دارند، مقدار G برای آن‌ ها مساوی 1 در نظر گرفته می‌ شود.

شکل5- انتهای دور و نزدیک ذکر شده در آیین‌ نامه، برای نقطه A

محاسبه طول مؤثر با ذکر 4 مثال

در ادامه، برای درک بهتر مطالب مورد بحث، ضریب طول موثر در تعدادی قاب مهار شده و مهار نشده، در قالب چند مثال ساده، محاسبه خواهد شد.

مثال 1: ضریب طول مؤثر ستون AB را در شکل زیر محاسبه کنید.

برای تعیین ضریب طول موثر ستون با توجه به شکل 6 به صورت زیر عمل خواهیم کرد:

مثال1 ( محاسبه ضریب طول موثر ستون)

ضریب 0.5 به‌ کار رفته در رابطه‌ ی فوق که در سختی یکی از تیرها ضرب شده، بر اساس تبصره‌ ی آیین‌ نامه‌ ای بند پ-1-3 بوده و علت آن، وجود مفصل در انتهای دورِ تیر متصل به گره A می‌ باشد.

G_B = 1 تکیه گاه گیردار

مثال 2: ضریب طول مؤثر ستون AB در شکل زیر را بیابید. (آزمون محاسبات- سال 1390)

در نقطه B در قسمت تیر طره مقدار EI/L را صفر در نظر گرفتیم.

G_A = 1 تکیه گاه گیردار

مثال 3: در قاب زیر کدام ستون ضریب طول مؤثرش کمتر از یک هست؟

برای محاسبه ضریب طول مؤثر، توجه به وجود یا عدم وجود مهار جانبی الزامی است. مهاربند نشان داده‌ شده در شکل فوق، برای ستون‌های 3 و 5 در تراز فوقانی و برای تکیه‌گاه‌های ستون‌های 3، 4 و 1 در تراز تحتانی (قسمت پایین ستون موردنظر در هر طبقه) قید جانبی ایجاد کرده، و در واقع از حرکت جانبی آنها ممانعت می‌نماید. بنابراین در بین پنج ستون موجود، تنها ستون مقید شده در برابر حرکت جانبی ستون 3 بوده و سایر ستون‌ها در برابر حرکت جانبی آزاد می‌باشند. بنابراین ضریب طول مؤثر تمامی ستون‌ها به‌استثناء ستون 3 بزرگ‌تر از یک هست.

مثال 4: مثال 2 را به روش نموگراف حل کنید.

در این مسئله G_A و G_B را مانند مثال 2 محاسبه می کنیم: